2024新高考Ⅱ卷高考數學試題

2024年普通高等學校招生全國統一考試（新課標II卷）

數學

本試卷共10頁，19小題，滿分150分.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1. 已知，則（    ）

A. 0 B. 1 C.  D. 2

2. 已知命題p：，；命題q：，，則（    ）

A. p和q都是真命題 B. 和q都是真命題

C. p和都是真命題 D. 和都是真命題

3. 已知向量滿足，且，則（    ）

A.  B.  C.  D. 1

4. 某農業研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（單位：kg）并部分整理下表

據表中數據，結論中正確的是（    ）

A. 100塊稻田畝產量的中位數小于1050kg

B. 100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C. 100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間

D. 100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間

5. 已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段中點M的軌跡方程為（    ）

A. （） B. （）

C. （） D. （）

6. 設函數，，當時，曲線與恰有一個交點，則（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

7. 已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（    ）

A.  B. 1 C. 2 D. 3

8. 設函數，若，則的最小值為（    ）

A.  B.  C.  D. 1

二、多項選擇題：本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9. 對于函數和，下列正確有（    ）

A. 與有相同零點 B. 與有相同最大值

C. 與有相同的最小正周期 D. 與的圖像有相同的對稱軸

10. 拋物線C：準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（    ）

A. l與相切

B 當P，A，B三點共線時，

C. 當時，

D. 滿足的點有且僅有2個

11. 設函數，則（    ）

A 當時，有三個零點

B. 當時，是的極大值點

C. 存在a，b，使得為曲線的對稱軸

D. 存在a，使得點為曲線的對稱中心

三、填空題：本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.

12. 記為等差數列的前n項和，若，，則________.

13. 已知為第一象限角，為第三象限角，，，則_______.

14. 在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是________．

四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15. 記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．

（1）求A．

（2）若，，求的周長．

16. 已知函數．

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．

17. 如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF對折至，使得．

（1）證明：；

（2）求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．

18. 某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．

（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．

（2）假設，

（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

（ii）為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

19. 已知雙曲線，點在上，為常數，．按照如下方式依次構造點，過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.

（1）若，求；

（2）證明：數列是公比為的等比數列；

（3）設為的面積，證明：對任意的正整數，.